班级______ 学号______ 姓名_______  
一．填空题 
1.若 为实数，则“ ”是 的 充分而不必要条件 条件 
当 时，由 两边同除 可得 成立；当 时，两边同除以 可得 成立，∴“ ”是“ 或 ”的充会条件，反过来 ，由 或 得不到 . 
2.设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是若|a|＝|b|，则a＝－b 
3.设 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 为2 
4.一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为 12  
5．以椭圆 的焦点为顶点，离心率为 的双曲线方程为 。 
6. 关于 的不等式 的解集为 ，则复数 所对应的点位于复平面内的第 _二 象限 
7. _1 。 
8．观察下列式子 , … … , 
则可归纳出 _ 。 
9.点P是椭圆 上一点, F1、F2是其焦点, 若∠F1P F2=90°, △F1P F2面积 
为 _9 。 
10．曲线 在它们的交点处的两条切线互相垂直，则 的值是  
11.在集合 中任取一个偶数 和一个奇数 构成以原点为起点的向量a=（a,b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为 ，其中面积不超过 的平行四边形的个数为 ，则  
12.设函数 是 的真子集，则实数 的取值范围是  
13．设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为_______  
14.已知函数 是定义在R上的奇函数， ， ，则不等式 的解集是  

二．解答题 
15.已知复数 满足 （ 为虚数单位），复数 的虚部为 ， 是实数，求 。 
解： ………………（4分） 
设 ，则 ，………………（12分） 
∵ ，∴ ………………（12分） 
16.有同一型号的汽车100辆,为了解这种汽车每蚝油1L所行路程的情况,现从中随即抽出10辆在同一条件下进行蚝油1L所行路程实验,得到如下样本数据（单位:km）:,,,, 
,,,,,，其分组如下: 

分组 

频数 

频率 

[,） 





[,） 





[,） 





[,） 





合计 

10 

 

（1）完成上面频率分布表； 
（2）根据上表,在给定坐标系中画出频率分布直线图,并根据样本估计总体数据落在[,）中的概率； 
（1）频率分布表： 

分组 

频数 

频率 

[,） 

2 

 

[,） 

3 

 

[,） 

4 

 

[,） 

1 

 

合计 

10 

 

（2）频率分布直方图： 
估计总体数据落在[,）中的概率为  
17.（理科做）设 。 
(Ⅰ)求 ， ， ，试用 表示 的值。 
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的结论。 
（文科做）(Ⅰ)设 为互不相等的正数，且 ，求证： 。 
(Ⅱ) 已知 是正常数， ， ，求证： ，并指出等号成立的条件； 
解：（理）  


（Ⅱ）证明： 
(1)当n=2时由（Ⅰ）可知成立 
（2）假设 时结论成立，即  
那么，当 时， 
， 
所以当 时，命题也成立。 
根据（1）（2）可知结论当 时都成立。 
（文）解：（1）证明：因为 ，  
因为 为互不相等的正数，所以 ，所以  
（2）应用二元均值不等式，得 
， 
故　　　　　　　 ． 
当且仅当 ，即 时上式取等号 
18.设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知 ，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时．中午12:00相应的t=0，中午12:00以后相应的t取正数，中午12:00以前相应的t取负数（如早上8：00相应的t=-4，下午16：00相应的t=4）．若测得该物体在早上8:00的温度为8℃，中午12:00的温度为60℃，下午13:00的温度为58℃，且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的变化率. 
（1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式； 
（2）该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？ 
解：(1) 因为 ,  
而 , 故 ,  
.  
∴ .  
(2) , 由  
当 在 上变化时， 的变化情况如下表: 





-2 



（-2，-1） 



-1 



（-1，1） 



1 



（1，2） 



2 









 



0 



－ 



0 



 









58 



增函数 



极大值62 



减函数 



极小值58 



增函数 



62 



由上表知当 ，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62℃. 
19.已知半椭圆 与半椭圆 组成的曲线称为“果圆”，其中 ， 是对应的焦点。 
(Ⅰ)若三角形 是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； 
(Ⅱ)若 ，求 的取值范围； 
（1）∵F0（c，0）F1（0， ），F2（0， ） 
∴| F0F1 |＝ ，| F1F2 |＝  
于是 ， ，所求“果圆”方程为 
（x≥0）， （x≤0）．  
（2）由题意，得a＋c＞2b，即 ． 
∵（2b）2＞b2＋c2，∴a2－b2＞（2b－a）2，得  
又b2＞c2＝a2－b2，∴ ． 
∴  

20.已知 是实数，函数 . 
⑴求函数f(x)的单调区间； 
⑵设g(x)为f(x)在区间 上的最小值. 
（i）写出g(a)的表达式；（ii）求 的取值范围，使得 . 
⑴解：函数的定义域为 ， （ ） 
若 ，则 ， 有单调递增区间 ． 
若 ，令 ，得 ，  
当 时， ， 
当 时， ．  
有单调递减区间 ，单调递增区间 ．  
⑵解:(i)若 ， 在 上单调递增，所以 ． 
若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增， 
所以 ．  
若 ， 在 上单调递减，所以 ． 
综上所述，  
（ii）令 ．若 ，无解． 
若 ，解得 ．  
若 ，解得 ． 
故 的取值范围为 ．