一、目标导航
1.相似三角形对应高的比,对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比;
2.相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
二、基础过关
1.若两个相似多边形面积比为,则它们的周长比是.
2.若△ABC∽△ABC,AB=4,BC=5,AC=6,△ABC的最大边长为15,那么它们的相似比是________,△ABC的周长是________.
3.两个相似三角形对应角平分线之比为1:4.则它们的周长比为,面积比为.
4.若DE为△ABC的中位线,且DE//BC,则△ADE与△ABC的面积比为.
5.两个相似三角形的相似比为2∶3,它们周长的差是25,那么较大三角形的周长
是________.
6.如图,在□ABCD中,延长AB到E,使BE=AB,延长CD到F,使DF=DC,EF交BC于G,交AD于H,则△BEG与△CFG的面积之比是________.
7.把一个三角形改做成和它相似的三角形,如果面积缩小到原来的倍,那么边长应缩小到原来的________倍.
8.如果两个相似三角形的面积比为9:25,而第一个三角形的周长为36,那么第二个三角形周长是.
三、能力提升
9.把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折,要使矩形AEFB与原矩形相似,则原矩形长与宽的比为()
A.2∶1B.∶1C.∶1D.4∶1
10.在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,△ADE和四边形BCED的面积分别记为S1、S2,那么的值为()
A.B.C.D.
11.在Rt△ABC中,AD为斜边BC上的高,若S=3S,则AB∶AC等于()
A.1∶3B.1∶4C.1∶D.1∶2
12.顺次连结三角形三边的中点,所成的三角形与原三角形对应高的比是()
A.1∶4B.1∶3C.1∶D.1∶2
13.如图,DF//EG//BC,AD=DE=EB,则面积比S:S:S等于()
A.1:1:2B.1:3:5C.1:2:3D.1:4:9
14.如图,若∠C=90,AD=DB,ED⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为()
A.75B.58.5C.48D.37
15.在梯形ABCD中,AB//CD,若DB,AC交于点O,且△DCO的面积与△DCB的面积比为1:3,则△CDO与△ABO的面积比等于()
A.1:9B.1:7C.1:4D.1:5
16.如图,BE//CD,AB:BC=2:3,则=()
A.2:3B.4:15C.4:21D.4:17
17.如图,△ABC是一块锐角三角形余料,其中BC=12cm,高AD=8cm,现在要把它裁剪成一个正方形材料备用,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,问这个正方形材料的边长是多少?
18.如图,在△ABC中,DE//BC,EF//AB,已知△ADE和△EFC的面积分别是4cm和9cm,求△ABC的面积.
19.正方形ABCD中,E是AC上一点,EF⊥AB,EG⊥AD,AB=6,AE:EC=2:1.求四边形AFEG的面积.
20.如图,□ABCD中,M为BC中点,AN=3MN,BN的延长线交AC于E,交CD于F.⑴求AE:EC的值;⑵当S=9时,求S.
21.如图,△ABC中,AB=4,D在AB边上移动(不与A,B重合),DE//BC交AC于E,连结CD,设,.⑴当D为AB中点时,求的值;
⑵若AD=,,求关于的函数关系式及自变量的取值范围.
四、聚沙成塔
22.如图,梯形ABCD中,AD//BC,CE平分∠BCD,且CE⊥AB于E,,=14cm.求四边形ADCE的面积.
23.△ABC中,AB=AC=10,BC=12,动点D在边AB上,DE⊥AB,点E在BC上,点F在边AC上,且∠DEF=∠B,当点D在AB上运动时,⑴可能等于的二倍吗?若可能,请求出BD的长;若不可能,请说明理由.⑵可能等于的四倍吗?若可能,请求出BD的长;若不可能,请说明理由.
24.在Rt△ABC中,∠C=90,AC=3,BC=4,点E在直角边AC上(点E与A,C两点均不重合),点F在斜边AB上(点F与A,B均不重合).⑴若EF平分Rt△ABC周长,设AE的长为,试用含的代数式表示△AEF的面积;⑵是否存在线段EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分?若存在,求出此时AE的长;若不存在,说明理由.
25.如图,在△ABC中,DE//BC,在AB上取一点F,使.
求证:AD=ABBF.
26.某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10米,20米的梯形空地上种植花木如图①,⑴他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,单价为8元/㎡,当△AMD地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元,请计算种满△BMC地带所需费用.⑵若其余地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择,单价分别为12元/㎡和10元/㎡,应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资金.⑶若梯形ABCD为等腰梯形,面积不变(如图②)请你设计一种花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得△APB≌△DPC,且S=S,并说明你的理由.
27.将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折线交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC交于点G,⑴如果M为CD的中点,求证:DE∶DM∶EM=3∶4∶5.⑵如果M为CD上任一点,设AB=2a,问△CMG的周长是否与点M的位置有关?若有关,请把△CMG的周长用含DM的长x(即DM=x)的代数式表示;若无关,请说明理由.
28.如图,已知△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P点在AC上(与A、C不重合),Q在BC上.
⑴当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.
⑵当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长.
⑶试问:在AB上是否存在一点M,使得△PQM为等腰直角三角形,若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长.
29.已知,如图,在△ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC交AB于点E,EC与AD相交于点F.⑴求证:△ABC∽△FCD;⑵若S=5,BC=10,求DE的长.
30.如图,已知,在△ABC中,BA=BC=20㎝,AC=30㎝,点P从A点出发,沿AB以4㎝/s的速度向点B运动;同时点Q从C点出发,沿CA以3㎝/s的速度向A点运动,设运动时间为x,
⑴当x为何值时,PQ∥BC;
⑵当=1:3时,求的值;
⑶△APQ能否与△CQB相似,若能,求出AP的长,若不能,请说明理由.
31.如图,△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连结AE.
⑴写出图中所有相等的线段,并加以说明;
⑵图中有无相似三角形,若有,请写出一对,若没有,请说明理由;
⑶求△BEC与△BEA的面积之比.
4.8相似多边形的性质
1.2:3;2.2:5,37.5;3.1:4,1:16;4.1:4;5.75;6.1:16;7.;8.60;9.C;10.C;11.C;12.D;13.B;14.B;15.C;16.B;17.4.8cm;18.25;19.16;20.⑴提示:延长AD,BF交于G.AE:EC=3:2.⑵4.
21.⑴S:S=1:4.⑵(0<<4).22.提示:延长BA,CD交于点F.面积=.23.⑴可能,此时BD=.⑵不可能,当S的面积最大时,两面积之比=<4.
24.⑴S=.⑵存在.AE=.
25.略.
26.⑴640元.⑵选种茉莉花.⑶略.
27.⑴利用勾股定理问题即可解决.⑵答:无关.利用△MCG∽△MDE的周长比等于相似比可求得△MCG的面积=4.
28.⑴CP=2.⑵CP=.⑶分两种情况①PQ=,②PQ=.
29.提示:作△ABC的高AG.⑴略.⑵DE=.
30.⑴=s.⑵2:9.⑶AP=或20.
31.⑴DE=AD,AE=BE=CE.⑵有:△ADE∽△ACE或△BCD∽△ABC.⑶2:1.