1.数学余弦定理练习题高二1.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120，则边c的值是()
A.8 B.217
C.62 D.219
解析：选D.根据余弦定理，c2=a2 b2-2abcos C=16 36-246cos 120=76，c=219.
2.在△ABC中，已知a=2，b=3，C=120，则sin A的值为()
A.5719 B.217
C.338 D.-5719
解析：选A.c2=a2 b2-2abcos C
=22 32-223cos 120=19.
c=19.
由asin A=csin C得sin A=5719.
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________.
解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2 4a2-a222a2a=78.
答案：78
4.在△ABC中，若B=60，2b=a c，试判断△ABC的形状.
解：法一：根据余弦定理得
b2=a2 c2-2accos B.
∵B=60，2b=a c，
(a c2)2=a2 c2-2accos 60，
整理得(a-c)2=0，a=c.
△ABC是正三角形.
法二：根据正弦定理，
2b=a c可转化为2sin B=sin A sin C.
又∵B=60，A C=120，
C=120-A，
2sin 60=sin A sin(120-A)，
整理得sin(A 30)=1，
A=60，C=60.
△ABC是正三角形.
课时训练
一、选择题
1.在△ABC中，符合余弦定理的是()
A.c2=a2 b2-2abcos C
B.c2=a2-b2-2bccos A
C.b2=a2-c2-2bccos A
D.cos C=a2 b2 c22ab
解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题.
2.(2011年合肥检测)在△ABC中，若a=10，b=24，c=26，则最大角的余弦值是()
A.1213 B.513
C.0 D.23
解析：选C.∵ca，c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C=a2 b2-c22ab=0.
3.已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是()
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不能确定
解析：选B.∵42=1622 32=13，边长为4的边所对的角是钝角，△ABC是钝角三角形.
4.在△ABC中，已知a2=b2 bc c2，则角A为()
A. B.6
C.2 D.3或23
解析：选C.由已知得b2 c2-a2=-bc，
cos A=b2 c2-a22bc=-12，
又∵0
5.在△ABC中，下列关系式
①asin B=bsin A
②a=bcos C ccos B
③a2 b2-c2=2abcos C
④b=csin A asin C
一定成立的有()
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立.对于②由正弦定理知sin A=sin Bcos C sin Ccos B=sin(B C)，显然成立.对于④由正弦定理sin B=sin Csin A sin Asin C=2sin Asin C，则不一定成立.
6.在△ABC中，已知b2=ac且c=2a，则cos B等于()
A.14 B.34
C.24 D.23
解析：选B.∵b2=ac，c=2a，
b2=2a2，
cos B=a2 c2-b22ac=a2 4a2-2a22a2a
=34.
二、填空题
7.在△ABC中，若A=120，AB=5，BC=7，则AC=________.
解析：由余弦定理，
得BC2=AB2 AC2-2ABACcosA，
即49=25 AC2-25AC(-12)，
AC2 5AC-24=0.
AC=3或AC=-8(舍去).
答案：3
8.已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2 3x-2=0的根，则第三边长是________.
解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42 52-24512=21，第三边长是21.
答案：21
9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8，则B的大小是________.
解析：由正弦定理，
得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8.
不妨设a=5k，b=7k，c=8k，
则cos B=5k2 8k2-7k225k8k=12，
B=3.
答案：3
三、解答题
10.已知在△ABC中，cos A=35，a=4，b=3，求角C.
解：A为b，c的夹角，
由余弦定理得a2=b2 c2-2bccos A，
16=9 c2-635c，
整理得5c2-18c-35=0.
解得c=5或c=-75(舍).
由余弦定理得cos C=a2 b2-c22ab=16 9-25243=0，
∵0
11.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a b c)(sin A sin B-sin C)=3asin B，求C的大小.
解：由题意可知，
(a b c)(a b-c)=3ab，
于是有a2 2ab b2-c2=3ab，
即a2 b2-c22ab=12，
所以cos C=12，所以C=60.
12.在△ABC中，b=asin C，c=acos B，试判断△ABC的形状.
解：由余弦定理知cos B=a2 c2-b22ac，代入c=acos B，
得c=aa2 c2-b22ac，c2 b2=a2，
△ABC是以A为直角的直角三角形.
又∵b=asin C，b=aca，b=c，
△ABC也是等腰三角形.
综上所述，△ABC是等腰直角三角形.
余弦定理练习题
