导语：数列既是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础，因此，每年高考对本章内容均作较全面的考查，而且经常是以综合题、主观题的形式出现，难度较大，以下是小编整理数列通项公式方法总结的资料，欢迎阅读参考。
不过一般分小题、有梯度设问，往往是第1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思路。
一、已知数列的前几项
已知数列的前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法，也即是归纳推理。
例1、求数列的通项公式
（1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……
（2）9，99，999，……
分析：（1）0=12——1/2，每一项的分子是项数的平方减去1，分母是项数加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其实，该数列各项可化简为0，1，2，3，……，易知an＝n——1。
（2）各项可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。
此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生的思维能力。
二、已知数列的前n项和Sn
已知数列的前n项和Sn，求通项公式an，主要通过an与Sn的关系转化，即an -{ S1（n＝1） Sn -Sn——1（n≥2）
例2、已知数列{an }的前n项和Sn=2n 3，求an
分析：Sn=a1 a2 …… an——1 an
Sn——1＝a1 a2 …… an——1
上两式相减得 Sn -Sn——1=an
解：当n=1时，a1=S1=5
当n≥2时，an =Sn -Sn——1=2n 3-（2n——1 3）=2n——1
∵n=1不适合上式
∴an ={5（n=1） 2n——1（n≥2）
三、已知an与Sn关系
已知数列的第n项an与前n项和Sn间的关系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先将Sn与an的关系转化为an与an——1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。不同的类型，要用不同的方法解决。
（1）an=an——1 k。数列属等差数列，直接代公式可求通项公式。
例3、已知数列{an}，满足a1=3，an=an——1 8，求an。
分析：由已知条件可知数列是以3为首项，8为公差的等差数列，直接代公式可求得an=8n-5。
（2）an=kan——1（k为常数）。数列属等比数列，直接代公式可求通项公式。
例4、数列{an}的前n项和Sn,a1=1，an 1=2Sn 1（n∈N ）
求数列{an}的通项公式。
分析：根据an与Sn的关系，将an 1=2Sn 1转化为an与an 1的关系。
解：由an 1=2Sn 1
得an=2Sn-1 1（n≥2）
两式相减，得an 1-an=2an
∴an 1=3an （n≥2）
∵a2=2Sn 1=3
∴a2=3a1
∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列
∴an=3n-1
（3）an 1=an f（n），用叠加法
思路：令n=1，2，3，……，n-1
得a2=a1 f（1）
a3=a2 f（2）
a4=a3 f（3）
……
）an=an——1 f（n-1）
an=a1 f（1） f（2） … f（n-1）
例5、若数列{an}满足a1=2，an 1=an 2n
则{an}的通项公式=（ ）
解：∵an 1=an 2n
∴a2 =a1 2×1
a3=a2 2×2
a4=a3 2×3
……
）an=an——1 2（n-1）
an=a1 2（1 2 3 … n-1）
=2 2×（1 n-1）（n-1）
=n2-n 2
（4）an 1=f（n）an，用累积法
思路：令n=1，2，3，……，n-1
得a2 =f（1）a1 a3=f（2）a2 a4=f（3）a3
……
×）an=f（n-1）an-1
an=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）
例6、若数列{an}满足a1=1，an 1=2n an，则an=（ ）
解：∵an 1=2nan ∴a2 =21a1
a3=22a2 a4=23a3
……
×） an=2n——1·an——1
an=2·22·23·……·2n-1a1=2n（n-1）/2
（5）an=pan——1 q， an=pan——1 f（n）
an 1=an p·qn（pq≠0），
an=p（an——1）q， an 1=ran/pan q=（pr≠0，q≠r）
（p、q、r为常数）
这些类型均可用构造法或迭代法。
①an=pan——1 q （p、q为常数）
构造法：将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列，然后，求出该等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式。
将关系式两边都加上x
得an x=Pan——1 q x
=P（an——1 q x/p）
令x=q x/p，得x=q/p-1
∴an q/p-1=P（an——1 q/p-1）
∴{an q/p-1}是以a1 q/p-1为首项，P为公比的等比数列。
∴an q/p-1=（a1 q/p-1）Pn-1
∴an=（a1 q/p-1）Pn-1-q/p-1
迭代法：an=p（an——1 q）=p（pan-2 q） q
=p2（（pan-3 q） pq q……
例7、数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-n（n∈N ）求an
解析：由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-（n-1） （n≥2,n∈N ）
两式相减得an=2an-1 1
两边加1得an 1=2（an-1 1） （n≥2，n∈N ）
构造成以2为公比的等比数列{an 1}
②an=Pan-1 f（n）
例8、数列{an}中，a1为常数，且an=-2an-1 3n-1（≥2，n∈N）
证明：an=（-2）n-1a1 3n （-1）n·3·2n-1/5
分析：这道题是证明题，最简单的方法当然是数学归纳法，现用构造法和迭代法来证明。
方法一：构造公比为-2的等比数列{an λ·3n}
用比较系数法可求得λ=-1/5
方法二：构造等差型数列{an/（-2）n}。由已知两边同以（-2）n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3·（-3/2）n，用叠加法处理。
方法三：迭代法。
an=-2an-1 3n-1=-2（-2an-2 3n-2） 3n-1
=（-2）2an-2 （-2）·3n-2 3n-1
=（-2）2（-2an-3 3n-3） （-2）·3n-2 3n-1
=（-2）3an-3 （-2）·3n-3 （-2）·3n-2 3n-1
=（-2）n-1a1 （-2）n-1·3 （-2）n-3· 32 …… （-2）·3n-2 3n-1
=（-2）n-1a1 3n （-1）n-2·3·2n-1/5
③an 1=λan p·qn（pq≠0）
（ⅰ）当λ=qn 1时，等式两边同除以，就可构造出一个等差数列{an/qn}。
例9、在数列{an}中，a1=4，an 1 2n 1，求an。
分析：在an 1=2an 2n 1两边同除以2n 1，得an 1/2n 1=an/2n 1
∴{an/2n}是以a1/2=2为首项，1为公差的等差数列。
（ⅱ）当λ≠q时，等式两边同除以qn 1，令bn=an/qn，得bn 1=λ/qbn p，再构造成等比数列求bn，从而求出an。
例10、已知a1=1，an=3an-1 2n-1，求an
分析：从an=3an-1 2n-1两边都除以2n，
得an/2n=3/2 an-1/2n-1 1/2
令an/2n=bn
则bn=3/2bn-1 1/2
④an=p（an——1）q（p、q为常数）
例11、已知an=1/a an——12，首项a1，求an。
方法一：将已知两边取对数
得lgan=2lgan——1-lga
令bn=lgan
得bn=2bn-1-lga，再构造成等比数列求bn，从而求出an。
方法二：迭代法
an=1/a a2n——1=1/a （1/a a2n——2）2=1/a3 a4n——2
=1/a3 （1/a a2n——3）4=1/a7·an——38=a·（an——3/a）23
=……=a·（a1/a）2n——1
⑤an 1=ran/pan q（p、q、r为常数，pr≠0，q≠r）
将等式两边取倒数，得1/an 1=q/r·1/an p/r，再构造成等比数列求an。
例12、在{an}中，a1=1，an 1=an/an 2，求an
解：∵an 1=an/an 2
∴1/an 1=2·1/an 1
两边加上1，得1/an 1 1=2（1/an 1）
∴{1/an 1}是以1/an 1=2为首项，2为公比的等比数列
∴ 1/an 1=2×2n-1=2n
∴an=1/2n-1
以上罗列出求数列通项公式的解题思路虽然很清晰，但是一般考生对第三项中的5种类型题用构选法和迭代法都比较困难的。遇到此情况，可转化为第一种类型解决，即从an与Sn的关系式求出数列的前几项，用观察法求an。
